Народ помогите плз с решением лимита:
lim((arctg (x))/x)^(1/(x^2)=? при x-->0 Короч мне надо это к зачету.Те кто не знает не флудите плз!(ps:это уравнение нада желательно решить с помощью правила ЛОпиталя!)Для тех кто поможет заранее СПАСИБО!
#5 Лапиталь юзаеца когда число * на беск, беск/беск, бекс в степени и тд... Легко лимит этот ваще лажевый не был бы я такой ленивый посчитал бы, а так лучше себе ща сделаю типовые
lim((arctg (x))/x)^(1/(x^2)=lim e^((1/x^2)*ln(arctg(x)/x))=(не уверен в это месте, мб меня исправят)=
=lim e^((1/x^2)*ln(arctg(x)'/x'))=lim e^((1/x^2)*ln(1/(1+x^2)))=lim e^(ln(1/(1+x^2))/x^2)=
=lim (ln(1/(1+x^2))'/(x^2)')=lim e^(2*x*(-1/(1+x^2)^2)*(1/(1+x^2))/(2*x))=lim e^(-1/(1+x^2))=
=e^(-1)=1/e
лапиталь это то что lim f(x)/g(x) когда они обе стремяца к нулю равен lim f`(x)/g`(x) но по-моему это здесь не нужно
попробуй через экспоненту. тоесть поясни в задаче что lim arctg(x)/x при х->0 равен 1, а lim 1/(x*x) при x->0 равен бесконечности. и дальше получаеца что:
lim (arctg(x)/x)^1/(x*x) = lim е^(1*ln(arctg(x)/x)/(x*x)= e^lim(1*ln(arctg(x)/x)/(x*x) и дальше заменяешь на эквивалентные бесконечно малые функции или как-то так и ответ получаеца e в степени то что у тя выйдет из этого лимита.
короче общее правило звучит так:
lim f(x)^g(x) при x->0 *если lim f(x) при x->0 =1, а lim g(x) при x->0 = бесконечность* можно заменить на
lim е^(g(x)*ln(f(x)) а т.к. показательная функция - непрерывная то получаеца e^ lim (g(x)*ln(f(x)) ну и всё это естественно при х-> 0
МАМА
lim((arctg (x))/x)^(1/(x^2)=lim e^((1/x^2)*ln(arctg(x)/x))=(не уверен в это месте, мб меня исправят)=
=lim e^((1/x^2)*ln(arctg(x)'/x'))=lim e^((1/x^2)*ln(1/(1+x^2)))=lim e^(ln(1/(1+x^2))/x^2)=
=lim (ln(1/(1+x^2))'/(x^2)')=lim e^(2*x*(-1/(1+x^2)^2)*(1/(1+x^2))/(2*x))=lim e^(-1/(1+x^2))=
=e^(-1)=1/e
